rationale Zahlen

I

rationale Zahlen,

 

Zeichen ℚ, die Menge aller Äquivalenzklassen von (positiven und negativen) Brüchen ^m/_n (mit ganzen Zahlen m und n sowie n ≠ 0), wobei zwei Brüche äquivalent heißen, wenn sie durch Kürzen (oder Erweitern) ineinander übergeführt werden können. Beispiel: ¹/₂ und ⁵/₁₀ stellen dieselbe rationale Zahl dar. Jede rationale Zahl kann als endliche oder unendliche periodische Dezimalzahl geschrieben werden; so gilt z. B. ³/₄ = 0,75 und —⁵/₆ = —0,833... Umgekehrt kann auch jede endliche oder unendliche periodische Dezimalzahl als Bruch geschrieben werden und ist daher auch eine rationale Zahl. Die rationalen Zahlen bilden einen Körper, der den Ring der ganzen Zahlen enthält.

II

rationale Zahlen

 

[zu lat. ratio »Vernunft«], alle natürlichen Zahlen und die Zahlen, die durch Brüche aus natürlichen Zahlen gebildet werden können. In einer anderen Charakterisierung sind dies alle Zahlen, die sich als endliche oder periodische Dezimalzahlen (Dezimalsystem) ausdrücken lassen. Die Menge der rationalen Zahlen reicht zur quantitativen Erfassung von Zahlenwerten im praktischen Leben vollkommen aus. So bilden die verschiedenen Real-Datentypen (Real-Variable), die nur eine bestimmte Stellenzahl zur Verfügung haben, einen Ausschnitt der Menge der rationalen Zahlen ab.

 

Um die Lösungen bestimmter algebraischer Gleichungen (z. B. Wurzel 2 als Lösung von x² = 2) sowie bestimmte spezielle Zahlen wie Pi exakt beschreiben zu können, erweiterte die Mathematik die Menge der rationalen Zahlen um die irrationalen Zahlen. Diese Zahlen sind als unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen darstellbar. Die rationalen und die irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen. Eine Erweiterung der reellen Zahlen stellen die komplexen Zahlen dar.